Bartsch, Guido : Effiziente Methoden für die niederfrequente Schallfeldsimulation / Guido Bartsch.

Mit einem Geleitwort von Michael Vorländer – Taunusstein : Driesen 2003 (Driesen Edition Wissenschaft). - 171 S. ; 19 cm. Zugl.: Aachen, Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule (RWTH), Dissertation 2003, ISBN 3-936328-07-2, kart., zahlreiche, teilweise farbige Abbildungen, EUR 9,80
Zur Vorhersage der Akustik in Räumen wurden in der Vergangenheit verschiedene numerische Simulationsverfahren entwickelt und auch erfolgreich eingesetzt: Für den niederfrequenten Bereich bzw. zur Simulation kleiner Räume (Tonstudios, Wohnräume, KFZ-Innenräume) finden Verfahren auf Basis der Finite-Elemente-Methode (FEM) Anwendung. Im höherfrequenten Bereich bzw. zur Simulation großer Räume (Opernhäuser, Plenarsäle) werden so genannte geometrische Verfahren eingesetzt. Die Problemfälle der akustischen Simulation liegen aber zwischen diesen beiden Extremen, da sich die Einsatzbereiche der Verfahren auf der Frequenzachse nicht überlappen.
Guido Bartsch entwickelt im Rahmen seiner interdisziplinären Forschungsarbeit effiziente Methoden für die niederfrequente Schallfeldsimulation. Die vorgestellten Verfahren erweitern einzeln, insbesondere aber in Kombination eingesetzt, den Frequenzbereich der FE-Simulation erheblich und stellen zugleich eine hohe Ergebnisqualität sicher: Die Robustheit gegenüber Fehlern bei der Simulationsvorbereitung wird durch eine adaptive Mesherzeugung deutlich gesteigert. Unzureichende Diskretisierungen werden automatisch erkannt und korrigiert. Die Verwendung von Multigrid-Methoden führt zu einer gleich bleibend hohen Konvergenz des Verfahrens, unabhängig von der Systemdimension und somit für beliebige Diskretisierungen. \'Sparse matrix\'-Algorithmen reduzieren den Speicherplatzverbrauch auf ein Minimum und beschleunigen überdies die Simulationszeiten.
Der Autor: Guido Bartsch; Jahrgang 1966; Abitur in Siegburg; Diplom-Informatiker; Promotion in Elektrotechnik und Informationstechnik an der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule (RWTH) Aachen. Guido Bartsch arbeitet seit vielen Jahren als Wissenschaftler im Bereich effizienter numerischer Verfahren.
Geleitwort:
Noch vor gar nicht so langer Zeit bestand das Vorurteil, dass die Schaffung einer guten Raumakustik eine Art schwarze Magie sei. Dies ist spätestens mit den heute allgemein verfügbaren experimentellen und theoretischen Methoden der Schallfeldanalyse widerlegt. Rechnergestützte Schallfeldsimulationen sind in der Raumakustik ein selbstverständliches Werkzeug geworden. Sie werden auf Grundlage geometrischer Verfahren in vielfältigen Anwendungen in Forschung, Lehre und in der Beratungspraxis eingesetzt. Bei tiefen Frequenzen und/oder in kleinen Räumen jedoch reichen die üblicherweise getroffenen Modellannahmen der ’geometrischen Akustik’ nicht aus, um eine ausreichende Ergebnisqualität zu erzielen. Vielmehr werden Welleneffekte wie Eigenschwingungen oder Beugung dominierend, was den Einsatz anderer Verfahren notwendig macht. Auch dafür stehen heute im Prinzip einige numerische Verfahren zur Verfügung, welche die stationäre Wellengleichung (Helmholtzgleichung) in einem diskreten Raumgitter (Mesh) zu lösen suchen. In der vorliegenden Arbeit entwickelt Guido Bartsch Solver für die Finite-Elemente-Methode bei Luftschallproblemen entscheidend weiter. Nach einer umfassenden Einleitung zur Thematik der akustischen Simulationstechnik werden innovative Strategien vorgestellt, und zwar im Hinblick auf die Ergebnisqualität (Fehlerschätzer auf der Basis von Multilevel-Verfahren), bezüglich adaptiver Ansätze (lokale Mesh-Verfeinerungen) sowie im Hinblick auf eine optimierte Nutzung der verfügbaren Datenspeicher der verwendeten Hardware. Die gewonnenen Erkenntnisse sind wichtige Meilensteine für die Weiterentwicklung numerischer Verfahren für die Akustik. Für den unermüdlichen Arbeitseinsatz und die schönen Resultate sei dem Autor herzlich gedankt.
Aachen, den 16.12.02
Prof. Dr. rer. nat. M. Vorländer
Vorwort:
Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Angestellter am Institut für Technische Akustik der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule (RWTH) Aachen. Meinem Doktorvater, dem Institutsleiter und Inhaber des Lehrstuhls für Technische Akustik, Herrn Prof. Vorländer, möchte ich für die vielfältigen Anregungen und die wissenschaftliche Betreuung dieser Arbeit danken. Bedanken möchte ich mich bei ihm aber auch für den Freiraum, den er mir für diese Forschungsarbeit stets gab, sowie für das ausgesprochen angenehme Arbeitsklima, das die Arbeit am Institut stets zu einer Freude werden ließ. Herrn Prof. Bischof, dem Leiter des Rechen- und Kommunikationszentrums, sowie Inhaber des Lehrstuhls für wissenschaftliches Hochleistungsrechnen an der RWTH Aachen, gilt mein Dank für sein großes Interesse an diesem interdisziplinären Forschungsthema und die übernahme des Korreferats. Meinen Institutskollegen, aber auch den Kollegen am Hochschulrechenzentrum danke ich für viele nutzbringende Diskussionen, die in unterschiedlicher Weise auch zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen haben. Dank gebührt aber auch den Studenten, die in Studienund Diplomarbeiten Ergebnisse erzielten, die den ein oder anderen Teilaspekt der vorliegenden Arbeit mitbeeinflußten. Ein besonderer Dank gilt meinen Eltern, die mein Interesse an einer wissenschaftlichen Laufbahn stets unterstützt haben. Meiner Frau Elke danke ich vor allem für die moralische Unterstützung während dieser Arbeit. Außerdem danke ich meinen Kindern Marcel und Sarah-Lisa für einige ’Störungen’ bei der Arbeit. Die hierdurch zwangsläufig erfolgten Unterbrechungen waren oftmals sehr hilfreich, um im Anschluß an die Unterbrechung eine neue Sichtweise der Dinge zu bekommen.
Aachen, im Januar 2003
Guido Bartsch
Aus dem Inhalt:
Geleitwort 7
Vorwort 9
1 Einleitung 15
2 Status quo der raumakustischen Simulation 19
2.1 Geometrische Verfahren 23
2.1.1 Schallteilchenverfahren 24
2.1.1.1 Schallquellen 25
2.1.1.2 Begrenzungsflächen. 25
2.1.1.3 Umgebungsmedium. 27
2.1.1.4 Empfänger 28
2.1.2 Spiegelschallquellen-Verfahren. 29
2.2 Wellentheoretisch basierte Verfahren. 32
2.2.1 Finite-Differenzen-Verfahren. 33
2.2.2 Finite-Elemente-Verfahren 35
2.2.2.1 Variationsformulierung 36
2.2.2.2 Darstellung in Matrixform 41
2.2.2.3 Komplexität des Problems 42
3 Fallstudien 43
3.1 Bezugsgrößen 43
3.2 Gekoppelte Räume. 44
3.2.1 Simulation ohne Wandreflexionen 45
3.2.1.1 Ergebnis der FE-Simulation 46
3.2.1.2 Ergebnis der RAY-Simulation 47
3.2.1.3 Bewertung der Ergebnisse 47
3.2.2 Simulation mit Wandreflexionen 49
3.2.2.1 Ergebnis der FE-Simulation 49
3.2.2.2 Ergebnis der RAY-Simulation 50
3.2.2.3 Bewertung der Ergebnisse 50
3.2.3 Vergleich der Simulationszeiten 52
3.3 Modenraum 54
3.3.1 Simulationsergebnisse 54
3.3.2 Bewertung der Ergebnisse 56
3.4 Zusammenfassung. 56
4 Effiziente Verfahren zur Schallfeldsimulation 59
4.1 Einführung 60
4.1.1 Matrixzerlegende direkte und iterative Löser 61
4.1.2 Modale Löser62
4.1.3 Sturm-Liouvillesches Problem. 64
4.2 Unterraum-Verfahren66
4.2.1 Galerkin-Verfahren 66
4.2.2 Begriffsdefinitionen 69
4.2.3 Bestimmung der Systemmatrizen 70
4.2.4 Eigenwertlöser 71
4.2.4.1 Orthogonale Projektionsmethode 72
4.2.5 Unterraumprojektion und Superposition 74
4.2.6 Approximationsfehler durch reduzierte Basis 75
4.2.7 Approximationsfehler durch Diskretisierung 76
4.2.8 Zusammenfassung 78
4.3 Adaptivität 78
4.3.1 Motivation. 78
4.3.2 Grundlagen hierarchischer Finiter Elemente 79
4.3.3 Fehlerschätzer81
4.3.3.1 Iterationsfehler 82
4.3.3.2 Diskretisierungsfehler83
4.3.4 Gitterverfeinerung 84
4.3.5 Zusammenfassung 85
4.4 Eigenwertlöser mit Multigrid-Vorkonditionierung 85
4.4.1 Konvergenz klassischer Iterationsverfahren 86
4.4.1.1 Bedämpfung des Fehlers 87
4.4.2 2-Gitterverfahren 88
4.4.2.1 Wahl des Prolongationsoperators 89
4.4.2.2 Wahl des Restriktionsoperators 91
4.4.2.3 Fehlerübergangsoperator 91
4.4.3 Multigrid-Verfahren 92
4.4.3.1 Mehrgitter-Zyklen 92
4.4.3.2 Fehlerübergangsoperator 93
4.4.4 Bestimmung des Vorkonditionierers 93
4.4.5 Zusammenfassung 94
4.5 ’Sparse matrix’-Algorithmen 94
4.5.1 Optimierung auf Datenstrukturebene 95
4.5.1.1 Bandstrukturierte Matrixspeicherung 96
4.5.1.2 Speicherung im CRS-Format 98
4.5.1.3 Speicherung im mod. CRS-Format 100
4.5.2 Optimierung auf algorithmischer Ebene 101
4.5.2.1 Erzeugung von Testmatrizen 101
4.5.2.2 Matrix-Vektor-Multiplikation 102
4.5.2.3 Spezifische arithm. Performance 103
4.5.2.4 CRS Matrix-Vektor-Multiplikation 104
4.5.2.5 Elimination von Schleifeninvarianten 105
4.5.2.6 ’Loop unrolling’ der äußeren Schleife 106
4.5.2.7 ’Data prefetch’-Optimierung 109
4.5.2.8 Performance bei realen FE-Matrizen 115
4.5.3 Arithmetische Performance aktueller Systeme 117
4.6 Zusammenfassung. 119
5 Verifikation der Methoden 121
5.1 Einführung 121
5.2 Lösungsqualität uniformer Gitter 122
5.2.1 Mittlerer quadratischer Fehler. 123
5.2.2 Maximaler Fehler 124
5.3 Lösungsqualität adaptiver Gitter 125
5.3.1 Rechteckraum126
5.3.2 Gekoppelte Räume 128
5.3.3 Zusammenfassung 130
5.4 Lösungsqualität reduzierter Basen 132
5.4.1 Komplexwertige Modenpartizipation 132
5.4.1.1 Einfluß der Dämpfung135
5.4.2 Einfluß red. Basen auf den Schalldruck 140
5.4.2.1 Ergebnisse 140
5.4.2.2 Zusammenfassung 145
5.4.3 Einfluß red. Basen auf übertragungsfunktionen145
5.5 Rechenzeit bei feineren Gittern 149
5.5.1 Testsysteme. 149
5.5.2 Benchmark-Ergebnisse 150
6 Zusammenfassung 153
7 Ausblick 159
Literatur 163
 
Vorwort:
In den letzten fünfzig Jahren hat wohl kaum ein anderes Gerät eine so ununterbrochene und rasante Weiterentwicklung durchgemacht wie der Computer. Nicht zuletzt aus diesem Grunde, wird auch in einer Großzahl an Veröffentlichungen die Leistungssteigerung der Prozessoren als die für den Innovationsvorschub in Wissenschaft und Technik verantwortliche Größe genannt. Vergessen wird dabei allzugerne, daß nicht der Rechner selber, sondern die Synergie von Rechner und Programmen bzw. Algorithmen der eigentliche Motor des Fortschritts war und immer noch ist. Dennoch wird in vielen wissenschaftlichen Disziplinen die Entwicklung von Algorithmen nicht als Forschungsgegenstand gesehen, sondern eher als Hilfsmittel, das dazu dienen soll, dem eigentlichen Ziel näherzukommen. Diese etwas eingeschränkte Sichtweise ändert jedoch nichts daran, daß das wissenschaftliche Fortkommen maßgeblich von der Entwicklung dieser Hilfsmitteln abhängig ist. So wie für den Elementarteilchen-Physiker der Bau von hochleistungsfähigen Teilchenbeschleunigern unbestritten notwendig ist, um in noch unerforschte Dimensionen seiner Disziplin eindringen zu können, ist die Entwicklung leistungsfähiger Simulationsalgorithmen für die Schallfeldberechnung für den Raumakustiker das entsprechende Pendant. Die raumakustische Computersimulation ist heute bereits für viele Anwender in Forschung und Praxis ’Stand der Technik’. Waren vor wenigen Jahrzehnten noch Papier, Bleistift, Lineal und einige Formeln die wesentlichen Werkzeuge des raumakustischen Planers, so wurde nach und nach der Computer immer öfter als Hilfsmittel herangezogen. Die ersten Programme wurden bereits in den siebziger Jahren entwickelt und im Laufe der achtziger und neunziger Jahre ausgebaut und für die Praxis (z.B. für raumakustische Beratung) benutzerfreundlich gestaltet. Die Fortschritte der Computersimulation gerade hinsichtlich der Hörbarmachung synthetischer raumakustischer Umgebungen sind beachtlich. Angesichts der beschriebenen rasanten Entwicklung der Rechnerhardware schienen Rechenzeiten kaum noch ein Problem darzustellen. Die ’Binaurale Echtzeit-Auralisation’, unter Berücksichtigung von Drehung und Bewegung des Zuhörers oder der Schallquelle im Raum, ist keine Zukunftsmusik mehr, sondern bereits Bestandteil aktueller Entwicklungen von gekoppelten akustisch, visuell und taktil virtuellen Umgebungen. Gerade dazu wurden in den letzten Jahren verschiedene Projekte in und außerhalb Deutschlands bearbeitet [43, 49, 35]. Vergleicht man aber die Ergebnisse aus Computersimulationen untereinander und mit Meßergebnissen, so beobachtet man folgende Phänomene [72], die gleichzeitig den Ausgangspunkt für die vorliegende Arbeit charakterisieren:
Manche Programme liefern hinreichend genaue Ergebnisse; die größere Anzahl liefert allerdings Ergebnisse, die deutlich stärker vom Sollwert abweichen, als z.B. durch die Standardabweichung bei wiederholten Messungen angegeben ist. Die Abweichungen sind zudem größer als die subjektiv wahrnehmbaren Unterschiedsschwellen bezüglich der einzelnen raumakustischen Parameter.
Die Genauigkeit der Vorhersage der raumakustischen Kenngrößen hängt weniger von der Detailtreue des Computer-Modells ab, als vielmehr vom Geschick des Programmierers, Wesentliches von Unwesentlichem zu unterscheiden.
Die Materialdaten, die den Raumflächen zugeordnet werden, sind teilweise ungenau oder nicht vollständig vorhanden. Der Absorptionsgrad wird typischerweise zu klein geschätzt.
Systematische Abweichungen und Tendenzen in den Ergebnissen der Computersimulationen sind allen Programmen gemeinsam und lassen sich eindeutig auf eine unzureichende Modellbildung der ’physikalischen Wirklichkeit’ zurückführen. Die in [72] genannten Abweichungen sind zwar für das unter- suchte Raumbeispiel und für den betrachteten Frequenzbereich um 1 kHz akzeptabel, jedoch nur bei drei von siebzehn Programmen. Und vor allem:
Keines der heute verfügbaren Programme erlaubt eine effektive Simulation für den unteren Frequenzbereich. Die vorliegende Arbeit stellt neue Ansätze und Implementierungen von raumakustischen Simulationsalgorithmen für die niederfrequente Schallfeldsimulation vor.
Insbesondere verfolgt die Arbeit das Ziel, durch eine effektive numerische Behandlung des Problems, alle relevanten akustischen Effekte in einem möglichst weit ausgedehnten Frequenzbereich wellentheoretisch exakt erforschen zu können. Desweiteren wird eine Methodik vorgestellt, deren Anwendung es gestattet, unabhängig vom Benutzer und von dessen Geschick respektive Wissen, eine gleichbleibend hohe Qualität der Ergebnisse sicherzustellen. Für eine korrekte Simulation wird es nicht mehr notwendig sein, daß der Benutzer Detailkenntnisse über das jeweilige Simulationsverfahren besitzen muß. Vielmehr ist es nur noch erforderlich, das Problem geometrisch korrekt zu modellieren und der Simulation die notwendigen akustischen Randbedingungen zu übergeben1. Damit wird eine verläßliche und erstmals auch robuste Simulationstechnik mit reproduzierbaren Ergebnissen für die niederfrequente Schallfeldsimulation vorgestellt. Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, daß Teile dieser Arbeit dankenswerterweise von der DFG, im Rahmen des Projekts ’Simulation der tieffrequenten Schallausbreitung in Räumen’, gefördert wurden [3].
1Korrekte Randbedingungen und akustisch richtige Vereinfachung von Modellen sind ein Problemkreis spezieller Art, auf den hier nicht näher eingegangen werden soll. Es ist jedoch davon auszugehen, daß diese Thematik in Zukunft in der Forschung eine größere Rolle spielen wird. Während präzisere Simulationsverfahren auch korrekte Randbedingungen verlangen, bieten geometrische Modellvereinfachungen eine Möglichkeit, den Berechnungsaufwand zu reduzieren.
Bibliographie:
[1] Babuska, I. M. und S. A. Sauter: Is the Pollution Effect of the FEM Avoidable for the Helmholtz Equation Considering High Wave Numbers? Society for Industrial and Applied Mathematics, 42:451–484, 2000.
[2] Barrett, R., M. Berry, T. Chan, J. Demmel, J. Donato, J. Dongarra, V. Eijkhout, R. Pozo, C. Romine und H. v.d. Vorst: Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA., 2nd Auflage, 1994.
[3] Bartsch, G.: Simulation der tieffrequenten Schallausbreitung in Räumen. Zwischenbericht über das Forschungsvorhaben ’DFG VO 600/3-1’, Institut für Technische Akustik, RWTH Aachen, Deutschland, 1998.
[4] Bartsch, G. und A. Franck: Hybrid and Parallel Extension of the Sound Field Simulation for Interior Problems (invited paper). In: Proc. of the 7th International Congress on Sound and Vibration (ICSV 7), Garmisch-Partenkirchen, Germany, 2000.
[5] Bartsch, G. und C. Wulf: Adaptive Multigrid for Helmholtz Problems (invited paper). In: Proc. of the 5th International Conference on Theoretical and Computational Acoustics (ICTCA 2001), Beijing, China, 2001.
[6] Basermann, A.: Parallel Sparse Matrix Computations in Iterative Solvers on Distributed Memory Machines. In: Proc. of the 7th SIAM Conference on Parallel Processing for Scientific Computing, 1995. 164 Literaturverzeichnis
[7] Bass, H. E. und H.-J. Bauer: Atmospheric Absorption of Sound: Analytical Expressions. The Journal of the Acoustical Society of America, 52(3), 1972.
[8] Bettess, P.: Infinite Elements. Penshaw Press, 1992.
[9] Biot, M. A. und I. Tolstoy: Formulation of wave propagation in infinite media by normal coordinates with an application to diffraction. The Journal of the Acoustical Society of America, 29:381–391, 1957.
[10] Bischof, C., L. Roh und A. J. Mauer-Oats: ADIC: An Extensible Automatic Differentiation Tool for ANSI-C. Software Practice and Experience, 27(12):1427–1456, 1997.
[11] Bornemann, F., B. Erdmann und R. Kornhuber: Adaptive multilevel methods in three space dimensions. Intern. Journ. on Numerical Methods in Engineering, 36:3187–3203, 1993.
[12] Bouillard, Ph. und F. Ihlenburg: Error estimation and adaptivity for the finite element method in acoustics: 2D and 3D applications. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 176:147– 163, 1999.
[13] Braess, D.: Finite Elemente. Springer-Verlag, Berlin, 1992.
[14] Bronstein, Ilja N. und Konstantin A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Thun, Frankfurt am Main, 2. Auflage, 1995.
[15] Bücker, H. M.: Iteratively Solving Large Sparse Systems on Parallel Computers. In: Quantum Simulations of Complex Many-Body Systems: From Theory to Algorithms, volume 10 of NIC Series, John von Neumann Institute for Computing, Jülich, Germany, 2000.
[16] Courant, R. und D. Hilbert: Methoden der mathematischen Physik. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1993.
[17] Cuthill, E. und J. McKee: Reducing the bandwidth of sparse symmetric matrices. In: Proc. ACM 24th National Conf., Seiten 157–172, New York, 1969. Literaturverzeichnis 165
[18] De Geest, E. und H. Pätzold: Mosart, a generalized multidomain ray tracing program with optimized solver. ACUSTICA/ acta acustica, 82(1):147, 1996.
[19] Dowd, K.: High Performance Computing, RISC Architectures, Optimization, & Benchmarks. O’Reilly & Associates, Inc., Sebastopol, CA, USA, 1st Auflage, 1993.
[20] Free Software Foundation (FSF): Using and Porting the GNU Compiler Collection (GCC). Online resource of the FSF, 3 2001. http://gcc.gnu.org/onlinedocs/gcc-2.95.3/gcc.html.
[21] Frommer, A.: Lösung linearer Gleichungssysteme auf Parallelrechnern. Vieweg-Verlag, Braunschweig, 1990.
[22] Granier, E.: Experimental auralization of car audio installations. The Journal of the Audio Engineering Society, 44:835–849, 1996.
[23] Großmann, C und H. G. Roos: Numerik partieller Differentialgleichungen. Teubner, Stuttgart, 1994.
[24] Hackbusch, W.: Multigrid Methods and Applications. Springer, Berlin Heidelberg, 1995.
[25] Hackbusch, W.: Theorie und Numerik elliptischer Differentialgleichungen. Teubner, Stuttgart, 1996.
[26] Heylen, W., S. Lammens und P. Sas: Modal Analysis Theory and Practice, Kapitel Modal Analysis and Testing. KU Leuven - PMA, 1993.
[27] Hoßfeld, F.: Parallele Algorithmen. Informatik Fachberichte 64, Springer-Verlag, Heidelberg, Germany, 1983.
[28] Hughes, T. J. R. (Herausgeber): The Finite Element Method, Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis. Dover Publications, Inc., Mineola, New York, USA, 1.2 Auflage, 2000.
[29] Ihlenburg, F. und I. M. Babuska: Finite Element Solution of the Helmholtz Equation with High Wave Numbers, Part I: The h-Version of the FEM. Computers Math. Applic., 30(9):9– 37, 1995. 166 Literaturverzeichnis
[30] Im, E.-J.: Optimizing the Performance of Sparse Matrix-Vector Multiplication. Dissertation, Univ. of California at Berkeley, 2000.
[31] INCITS Secretariat (X3): Standard – The C Language. ANSI/ ISO/IEC 9899. ISO-Norm, Information Technology Industry Council, Washington, DC, USA, 1999.
[32] International Organization for Standardization (ISO): ISO 9613-1 / Acoustics – Attenuation of sound during propagation outdoors – Part 1: Calculation of the absorption of sound by the atmosphere. ISO-Norm, ISO, Geneva, Switzerland, 1993.
[33] International Organization for Standardization (ISO): ISO 9613-2 / Acoustics – Attenuation of sound during propagation outdoors – Part 2: General method of calculation. ISO-Norm, ISO, Geneva, Switzerland, 1996.
[34] Irimie, S. und Ph. Bouillard: A Residual a posteriori error estimator for the finite element solution of the helmholtz equation. In: Proc. of the European Congress on Computational Methods on Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS 2000), Barcelona, Spain, 2000.
[35] Jantzen, M.: Aufbau eines Signalprozessorsystems zur Echtzeitverarbeitung von Raumimpulsantworten. Diplomarbeit, Institut für Technische Akustik, RWTH Aachen, Deutschland, 1993.
[36] Jeltsch, R.: Numerische Mathematik für Ingenieure, Teil A. Vorlesungsskript, Institut für Geometrie und Praktische Mathematik, RWTH Aachen, 1985.
[37] Jeltsch, R.: Numerische Mathematik für Ingenieure, Teil B. Vorlesungsskript, Institut für Geometrie und Praktische Mathematik, RWTH Aachen, 1985.
[38] Jung, M., U. Langer, A. Meyer, W. Queck und M. Schneider: Multigrid Preconditioners and their Applications. Third Multigrid Seminar, pp. 11-52, Report R-MATH- 03/89, Karl-Weierstrass-Institut für Mathematik, Berlin, 1989. Literaturverzeichnis 167
[39] Keller, J und D. Givoli: Exact non-reflecting boundary conditions. Journal of Computational Physics, 82:172–192, 1989.
[40] Krokstad, A., S. Strom und S. Sorsdal: Calculating the acoustical room response by the use of ray-tracing technique. The Journal of Sound and Vibration, 8:118, 1968.
[41] Kuttruff, Heinrich: Room Acoustics. Spon Press, London, New York, 4. Auflage, 2000.
[42] Lang, B.: Direct solvers for symmetric eigenvalue problems. In: Modern Methods and Algorithms of Quantum Chemistry, Seiten 231–259, John von Neumann Institute for Computing, Jülich, Germany, 2000.
[43] Lehnert, H.: Vereinfachung von binauralen Impulsantworten zur Auralisierung von Rückwürfen. In: Fortschritte der Akustik, DAGA, Seiten 303–306, 1995.
[44] Lehoucq, R.B., D.C. Sorensen und C. Yang: ARPACK Users’ Guide.
[45] Lüke, H. D.: Zur Entstehung des Abtasttheorems. ntz, Seiten 271–274, 1978.
[46] Lüke, H. D.: Signalübertragung. Springer-Verlag, 7 Auflage, 1999.
[47] Mommertz, E.: Untersuchung akustischer Wandeigenschaften und Modellierung der Schallrückwürfe in der binauralen Raumsimulation. Dissertation, Fakultät für Elektrotechnik, RWTH Aachen, 1995.
[48] Murphy, D. T. und D. M. Howard: 2-D digital waveguide mesh topologies in room. In: Proc. COST G-6 Conf. on Dig. Audio Eff. (DAFX-00), Verona, Italy, 2000.
[49] Naßhan, K., G. Schupp und U. Stephenson: Echzeitauralisation als Element optischer und akustischer virtueller Realität. In: Fortschritte der Akustik, DAGA, Seiten 307–310, 1995.
[50] Neymeyr, K.: A posteriori error estimation for a preconditioned algorithm to solve elliptic eigenproblems. Technischer Bericht, Univ. Tübingen and Stuttgart, 1997. 168 Literaturverzeichnis
[51] Ochmann, M. und S.N. Makarov: A fast iterative method for the calculation of high-frequency scattering from comprex structures. In: Proc. Internoise, Budapest, 1997.
[52] Papadopououlos, C. I.: Redistribution of the low frequency acoustic modes of a room: a finite element-based optimisation method. Applied Acoustics, 62:1267–1285, 2001.
[53] Rivara, M.C. und C. Levin: A 3D refinement algorithm suitable for adaptive and multigrid techniques. Comm. Appl. Numer. Methods, 8:281–290, 1992.
[54] Saad, Y.: Numerical Methods for Large Eigenvalue Problems. Manchester University Press, 1992.
[55] Saad, Y.: Iterative methods for sparse linear systems. PWS publishing, 1996.
[56] Savioja, L. und V. Välimäki: Reducing the dispersion error in the digital waveguide mesh using interpolation and frequency-warping techniques. IEEE Trans. Speech and Audio Process., 8(2):184–194, 2000.
[57] Schmitz, O.: Betrachtung der Simulationsalgorithmen eines raumakustischen Simulationssystems. In: Fortschritte der Akustik, DAGA Kiel, 1997.
[58] Schmitz, O. und G. Bartsch: Kombinierte Simulationsverfahren für die Raumakustik basierend auf FEM/BEM und geometrischen Modellen. In: Fortschritte der Akustik, DAGA Zürich, 1998.
[59] Schröder, M. R.: Statistische Parameter der Frequenzkurven von großen Räumen. ACUSTICA/acta acustica, 4, 1954.
[60] Schröder, M. R. und K. H. Kuttruff: On Frequency Response Curves in Rooms. Comparison of Experimental, Theoretical, and Monte Carlo Results for the Average Frequency spacing between Maxima. The Journal of the Acoustical Society of America, 34(1), 1962.
[61] SDRC: I-DEAS Master Series 7. SDRC, Milford, Ohio, USA, 1999. Literaturverzeichnis 169
[62] Silvester, P. P. und R. Ferrari: Finite Elemente for Electrical Engeneers. Cambridge University Press, 1990.
[63] Skudrzyk, E.: The Foundations of Acoustics. Springer-Verlag, 1971.
[64] Standard Performance Evaluation Corporation (SPEC): SPEC CPU2000. Online resource of the SPEC, 3 2002. http://www.spec.org/osg/cpu2000.
[65] Stoer, J. und R. Bulirsch: Numerische Mathematik 2. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 4 Auflage, 2000.
[66] Svensson, P., J. Andersson und J. Vanderkooy: An Analytical Time-Domain Modell of Edge Diffraction. In: Proc. of the Nordic Acoustical Meeting, Seiten 269–272, Stockholm, 1998.
[67] Technologies, LMS: SYSNOISE Manual Rev. 5.4.
[68] Torres, R. R.: On the Audibility of Diffraction and of Frequency-Response Smooting in Auralization. Licentiate Thesis, Chalmers University of Technology, 1998.
[69] Turek, S.: CFD for incompressible flow: numerical effciency versus gigaflops. Numerical Linear Algebra with Applications, Special issue on Numerical Linear Algebra Methods for Computational Fluid Flow problems, 7(6):473–482, September 2000.
[70] Van Maerke, D.: Simulation of sound fields in time and frequency domain using a geometrical model. In: Proc. Int. Congr. on Acoustics, Seiten E11–7, Toronto, 1986.
[71] Vorländer, M.: Untersuchungen zur Leistungsfähigkeit des raumakustischen Schallteilchenmodells. Dissertation, Fakultät für Elektrotechnik, RWTH Aachen, 1989.
[72] Vorländer, M.: International Round Robin on Room Acoustical Computer Simulations. In: Proc. 15th International Congress on Acoustics, Seiten 689–692, Trondheim, Norwegen, 1995.
[73] Vorländer, M.: Geometrische Akustik in kleinen Räumen. In: Fortschritte der Akustik, DAGA Bochum, 2002. 170 Literaturverzeichnis
[74] Wulf, C.: Entwicklung und Implementierung einer adaptiven Mehrgittermethode zur effzienten Berechnung der modalen Basis für die Schallfeldsimulation. Diplomarbeit, Institut für Technische Akustik, RWTH Aachen, Deutschland, 2002.
[75] Zhang, L., Z. Fang, M. Parker, Mathew B. K., L. Schaelicke, J. B. Carter, W. C. Hsieh und McKee S. A.: The Impulse Memory Controller. IEEE Transactions on Computers, Special Issue on Advances in High Performance Memory Systems, Seiten 1117–1132, 2001.